数值积分：机器怎么算积分
本文基于模型知识整理（生成时未联网核对），误差界建议对照 Numerical Recipes §4 或 Atkinson 复核。
一句话定义
找不到解析原函数（kp-013 的 $e^{-x^2}$ 困境）或只有离散数据点时，数值积分用"采样 + 加权求和"逼近定积分：中点/梯形法则（线性近似，误差 O(h²)）、Simpson 法则（抛物线近似，误差 O(h⁴)）——用泰勒一阶/二阶思想（kp-008）换取可控制精度的答案。
为什么重要
工程与科学中 99% 的实际积分是数值的：没有闭式解、被积函数是黑盒程序或实验数据（kp-029 的姊妹篇）。理解误差阶，才能回答"要 6 位精度需要多少采样点""我的数据网格够不够密"——这是把 kp-012 的几何直觉变成可交付数字的最后一公里。
前置知识
核心概念
- 中点法则：$\int_a^bf\approx(b-a)f\left(\frac{a+b}2\right)$（单段）；复合版每段取中点。
- 梯形法则：$\approx\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]$——用两端连线（弦）近似弧；复合版权系数 1,2,2,…,2,1。
- Simpson 法则：$\approx\frac{b-a}6[f(a)+4f(m)+f(b)]$——过三点的抛物线；复合版要求偶数段，系数 1,4,2,4,…,4,1。
- 误差阶（f 光滑、段长 h）：中点/梯形 $O(h^2)$（中点常略优且符号相反）；Simpson $O(h^4)$。加密一倍：梯形误差 ÷4、Simpson ÷16。
- 权衡：函数求值成本高（黑盒/实验）时，同等精度下 Simpson 用少得多的点。
- 失效警报：不可微/剧烈振荡的被积函数，误差阶承诺失效（光滑性是阶的前提）；周期函数另说（梯形对光滑周期函数意外地准）。
原理与机制
为什么中点比梯形"更准一档"：梯形用弦替代弧， systematically 高估凸函数；中点用切线平行线，误差反号且只有一半（泰勒展开对两者逐项比较：中点二阶项系数是梯形的一半且异号）——两者平均（或直接 Simpson）时二阶项相消，跳上 O(h⁴)，这正是 Simpson 的构造原理。
误差从哪里来：把 f 的泰勒展开逐段代入求和——每一阶的贡献累加出一个 ∑k·h^k 型的整体误差；h→0 时最低次项幸存，给出阶数。kp-008 的余项纪律在这里变成预算表。
自适应积分的思想：误差估计（如 Simpson 与两次中点之比）大的子区间继续二分——把采样预算花在最难的区段；现代积分器（SciPy quad）的默认行为。
图示
梯形: ∫ ≈ h/2·(f₀ + 2f₁ + ⋯ + 2fₙ₋₁ + fₙ) 误差 O(h²)
Simpson: ∫ ≈ h/3·(f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + ⋯ + fₙ) 误差 O(h⁴) (n偶)
加密: h→h/2 ⇒ 梯形误差/4 ; Simpson误差/16
警告: 光滑性前提 | 黑盒函数=数值积分的主场 (kp-029)直观类比
测量蜿蜒国境线：梯形法=把边境线当直线段量；Simpson=每两段用圆滑曲线拟合再量。拐弯越急（函数越不光滑）误差越大；把段切得更碎（h 减半），测量精度按各自的"倍增定律"提升。
实例或案例
- 正态概率：$\int_{-\infty}^{x}e^{-t^2/2}dt$ 无解析原函数——统计软件全部数值积分（kp-030）。
- 实验数据的能量：只有离散采样（传感器），梯形法直接对数据表积分。
- SciPy 实战：
quad(f, a, b)（自适应 Simpson 系）返回 (值, 误差估计)——误差估计与 kp-023 的"信任边界"意识配套使用。
常见误区
- 误区一："段数够多就一定准"。不光滑（|x| 类尖点）或噪声数据下阶数失效；先看被积函数脾气再谈加密。
- 误区二："Simpson 的 n 用奇数段"。Simpson 复合版要求偶数子区间——实现 off-by-one 的经典事故。
- 误区三："把数值积分结果当精确值交付"。永远携带误差阶/估计值——kp-029 的"数值无真值"纪律。
与其他知识点的关系
自测题
- 用单段梯形与 Simpson 估计 $\int_0^1x^2dx$，谁的误差小？
答：梯形给 0.5（真 1/3，误差 1/6）；Simpson 给 $\frac16(0+4\cdot\frac14+1)=\frac13$ 精确——x² 是二次多项式，Simpson 对它无误差。
- Simpson 复合版为何要求偶数段？
答：抛物线拟合以"三点一段"为单位（两子区间一段），总段数必须是 2 的倍数。
- 需要把误差从 1e-3 压到 1e-9，梯形与 Simpson 各需加密多少倍？
答：梯形 O(h²)：步长 ÷10³；Simpson O(h⁴)：步长 ÷10^{1.5}≈÷31.6。
延伸阅读
- Numerical Recipes 第 4 章（积分器全家桶与自适应策略）。
- Atkinson《An Introduction to Numerical Analysis》第 5 章。
- SciPy
integrate文档（quad/quad_vec 实战）。