学习路径

# 学习路径

前置知识要求见 00-overview.md：高中代数与基本函数图像。线性代数不强制（05 模块自含所需概念）。这些不属于本知识库范围。

第一阶段 · 入门（约 1.5 小时）

建立"变化率与累积"的双问题世界观与极限直觉。

1. [kp-001] 什么是微积分：两个基本问题（15 分钟）
2. [kp-002] 极限：直觉与 ε-δ（25 分钟）
3. [kp-003] 连续与间断（15 分钟）
4. [kp-006] 导数：定义、几何、可微性（25 分钟）

第二阶段 · 核心（约 5 小时）

求导 → 近似 → 积分 → 级数的完整主干。

1. [kp-011] 导数速查 + [kp-007] 求导法则（30 分钟）
2. [kp-004] 无穷小阶比较（15 分钟）→ [kp-005] 两个重要极限与 e（20 分钟）
3. [kp-008] 微分与泰勒近似（25 分钟）
4. [kp-009] 中值定理与 L'Hôpital（20 分钟）→ [kp-010] 单调极值凸性（20 分钟）
5. [kp-012] 黎曼和与积分（25 分钟）→ [kp-013] Newton-Leibniz 基本定理（25 分钟）
6. [kp-014] 换元与分部（25 分钟）
7. [kp-018] 级数收敛判别（25 分钟）→ [kp-020] 泰勒级数与常用展开（25 分钟）
8. [kp-022] 偏导数（15 分钟）→ [kp-023] 梯度（20 分钟）

第三阶段 · 进阶（约 2.5 小时）

1. [kp-015] 反常积分（20 分钟）
2. [kp-019] 幂级数与收敛半径（20 分钟）
3. [kp-024] 多元链式法则（20 分钟）
4. [kp-025] 多元极值与 Lagrange 乘数（25 分钟）
5. [kp-026] 二重积分（20 分钟）
6. [kp-027] 多元泰勒与凸函数（20 分钟）
7. [kp-017] 数值积分（15 分钟）
8. [kp-021] 傅里叶级数初步（20 分钟）

第四阶段 · 实践与历史（约 2.5 小时）

1. [kp-028] 梯度下降与优化中的微积分（25 分钟）
2. [kp-029] 数值微分与自动微分（25 分钟）
3. [kp-030] 概率中的微积分（20 分钟）
4. [kp-031] 微分方程初步（20 分钟）
5. [kp-032] 历史脉络与流派（20 分钟）
6. [kp-033] 错误清单与学习策略（15 分钟）

最小可用路径

kp-001 → kp-002 → kp-006 → kp-007 → kp-008 → kp-010 → kp-012 → kp-013 → kp-014 → kp-020 → kp-023 → kp-028（约 4 小时）。这条线是"极限 → 导数 → 泰勒 → 积分 → 级数 → 梯度 → 优化"的完整主干：机器学习所需微积分骨架全部在内。时间紧张只走这条线。

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