- 微积分
- 研究变化率（导数）与累积（积分）及其互逆关系的数学分支。
- 极限
- x 无限接近 a 时 f(x) 无限接近 L 的趋势；ε-δ 语言为其精确定义。
- ε-δ 定义
- ∀ε>0 ∃δ>0：0<|x−a|<δ ⇒ |f(x)−L|<ε——极限的可证明化。
- 单侧极限
- 从左/右趋近的极限；双侧极限存在 ⟺ 两侧相等。
- 夹逼定理
- g≤f≤h 且 g,h 极限同为 L ⇒ f 极限亦为 L。
- 连续
- 极限存在且等于函数值；三缺一即间断。
- 可去/跳跃/无穷间断
- 极限在但值缺 | 左右极限不等 | 趋于无穷或振荡。
- 介值定理（IVT）
- 闭区间连续函数取遍两端点值之间的一切值。
- 最值定理（EVT）
- 闭区间连续函数必有最大与最小值。
- 无穷小的阶
- 高阶（o）/同阶/等价（比值为 1）——归零速度的分级。
- 等价无穷小替换
- 乘除因子可整体互换的极限速算；加减中不可盲用。
- 两个重要极限
- sinx/x→1（三角导数的根）；(1+x)^{1/x}→e（指数导数的根）。
- 自然常数 e
- 使 eˣ 导数=自身的底数；连续复利与级数定义的常数。
- 导数
- 差商的极限——瞬时变化率/切线斜率/局部线性系数。
- 可微
- 存在导数；强于连续（|x| 在 0 连续不可微）。
- 高阶导数
- 导数的导数；f″ 刻画曲率/加速度。
- 乘积法则
- (uv)′=u′v+uv′——矩形面积增量的几何来源。
- 链式法则
- (f(g))′=f′(g)·g′——变化率沿复合链传播；BP 的原型。
- 隐函数求导
- 方程两边对 x 求导、遇 y 挂 y′，解出导数。
- 微分
- df=f′dx——线性主部；一阶近似的微分语言。
- 泰勒公式
- 用点 a 处各阶导数构造多项式克隆 f；余项给精度。
- Peano 余项
- o((x−a)ⁿ)——定性余项，算极限用。
- Lagrange 余项
- 显式 ξ 形式——定量误差估计用。
- 洛必达法则
- 0/0 或 ∞/∞ 时导数比的极限（须逐次验证条件）。
- 中值定理（MVT）
- f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)——平均变化率被瞬时取到。
- Rolle 定理
- 两端等高时必有水平切线。
- 驻点/临界点
- f′=0 或 f′ 不存在的点——极值候选。
- 凸性
- f″>0 下凸（碗）/ <0 上凸；拐点=凸性切换处。
- 黎曼和
- 分割-取点-求和的近似和；其极限即定积分。
- 定积分
- 黎曼和的极限——曲线下的带符号面积。
- 原函数/不定积分
- F′=f 的 F；族差常数。
- 微积分基本定理（FTC）
- 变上限积分的导数=f；∫ᵃᵇf=F(b)−F(a)。
- 换元法
- 链式法则的逆运算——∫f(g)g′dx=∫f(u)du；定积分须换限。
- 分部积分
- ∫u dv=uv−∫v du——乘积法则的逆运算；LIATE 选 u。
- 反常积分
- 无穷区间/瑕点的极限积分；收敛=极限存在。
- p-积分
- ∫dx/xᵖ——∞ 端 p>1 收敛、0 端 p<1 收敛（方向相反）。
- 微元法
- 切片-近似-求和的建模模板：dQ=表达式·dx。
- 弧长/旋转体
- ds=√(1+f′²)dx ；盘法 πf²dx、壳法 2πx·f·dx。
- 数值积分
- 梯形 O(h²) / Simpson O(h⁴)——采样加权求和。
- 级数
- 无穷项相加；收敛 ⟺ 部分和数列收敛。
- 几何级数
- Σarⁿ——|r|<1 收敛于 a/(1−r)。
- p-级数
- Σ1/nᵖ——p>1 收敛、p≤1 发散。
- 调和级数
- Σ1/n——项趋零却发散的著名反例。
- 比值/根值判别
- ρ<1 收、>1 发、=1 失明（测不出幂衰减）。
- 交错级数（Leibniz）
- 递减趋零的交错项收敛；误差≤首舍项。
- 绝对/条件收敛
- Σ|aₙ| 收 / 收但绝对发散（重排可改变和）。
- 幂级数
- Σcₙ(x−a)ⁿ；收敛域为对称区间（半径 R）。
- 收敛半径
- R=lim|cₙ/cₙ₊₁|；由复平面最近奇点决定。
- 泰勒级数
- 泰勒公式的无穷版；收敛域内等于原函数。
- 傅里叶级数
- 周期函数的正弦/余弦正交展开；系数=内积投影。
- 吉布斯现象
- 傅里叶部分和在跳跃点 9% 过冲不消失。
- 偏导数
- 冻结其余变量的单变量导数。
- 可微（多元）
- 全方向线性近似一致——Δf=∇f·Δ+o(ρ)；强于偏导存在。
- Clairaut 定理
- 二阶偏导连续时 f_xy=f_yx。
- 方向导数
- 沿单位方向的变化率 ∇f·û。
- 梯度
- 偏导向量；最速上升方向、⊥等值面、模=最大变化率。
- 多元链式法则
- 总导数=各路径"偏导乘积"之和；树图法防漏项。
- 全微分
- dz=f_x dx+f_y dy——自动链式的一次式。
- Hessian
- 二阶偏导对称矩阵；曲率，正定=局部极小。
- 鞍点
- 梯度为零但各方向有升有降的驻点。
- Lagrange 乘数法
- ∇f=λ∇g——约束极值的等值线相切条件。
- 二重积分
- 平面区域的累加；Fubini 可拆累次积分。
- 雅可比行列式
- 换元时面积的缩放率；极坐标 dA=r dr dθ。
- 凸函数
- 弦在图上方/切线在下方/H 半正定；驻点即全局最优。
- 强凸
- H⪰mI——曲率有下界，收敛有保证。
- 梯度下降
- w←w−η∇L——沿负梯度步进的迭代优化。
- 病态峡谷
- Hessian 特征值悬殊导致的狭长地形；迭代数∝κ。
- 动量/Adam
- 惯性平均/逐维自适应学习率的改进优化器。
- 牛顿法
- w←w−H⁻¹∇L——二阶曲率修正的快速优化。
- 数值微分
- 差商近似导数；截断与舍入误差的两难（精度上限）。
- 自动微分（AD）
- 沿计算图按链式法则精确传播导数。
- 前向/反向模式
- AD 的两种扫描方向——按输入列/按输出行；反向=BP。
- 概率密度
- ∫f=1 且非负；概率=区间上的积分。
- 期望
- E[X]=∫x f dx——连续加权平均；需绝对收敛。
- 柯西分布
- 密度可积但期望不存在的重尾反例。
- 微分方程
- 含未知函数导数的方程；解族由初始条件定成员。
- 分离变量
- dy/h(y)=g(x)dx 两边积分的一阶方程解法。
- 稳定性
- 平衡点处扰动衰减（f′<0）或发散（f′>0）。
- 欧拉法
- yₙ₊₁=yₙ+h·f(yₙ)——泰勒一阶的数值 ODE 解。