积分技巧：换元法与分部积分
本文基于模型知识整理（生成时未联网核对），技巧细节建议对照 Stewart §5.5、§7.1–7.2 复核。
一句话定义
找原函数的两大杠杆：换元法（凑微分）是链式法则的逆运算——$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$，把难看的被积函数"换坐标系"成能查表的形式；分部积分是乘积法则的逆运算——$\int u\,dv=uv-\int v\,du$，把"一类函数×另一类函数"的积分在两类之间转移，好造成的课要会逃。
为什么重要
FTC（kp-013）把积分问题转化为"找原函数"，但原函数不像导数那样有机械法则——积分是手艺活。换元与分部是手艺箱里仅有的两把主刀具：所有积分技巧（三角换元、部分分式、递推）都是它们的变体；莱布尼茨公式（分部的反复使用）甚至能算出 kp-030 概率中的积分。
前置知识
kp-007（链式与乘积法则——两把刀的"正用"）、kp-013（积分表）。
核心概念
- 第一类换元（凑微分）： spotting $g'(x)dx=dg$——$\int f(g(x))g'(x)dx$，令 $u=g(x)$ 化为 $\int f(u)du$。例：$\int xe^{x^2}dx$，凑 $x\,dx=\frac12d(x^2)$ → $\frac12e^{x^2}+C$。
- 第二类换元（代入法）：主动设 $x=\varphi(t)$ 消去根号/简化结构——三角换元（$\sqrt{a^2-x^2}$ 设 $x=a\sin t$）、有理化换元；定积分换元必须换限。
- 分部积分：由 $(uv)'=u'v+uv'$ 移项得 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$——选 u 的口诀 LIATE（对数、反三角、指数、代数、三角，反序 dv）：让"求导变简单的一方"当 u。
- 循环分部：$\int e^x\sin x\,dx$ 分部两次回到原式，移项解方程。
- 莱布尼茨公式：$\int u^{(n)}v\,dx=$ 交错和（多项式×指数的量产工具）。
原理与机制
换元为什么合法：它是链式法则（kp-007）倒着读。设 F' = f，则 $\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)$——正向是链式，反向读就是换元公式。定积分版 $\int_a^bf(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$：上下限跟着变（这是"必须换限"的根据——换元后变量已是 u，旧限是 x 的值）。
分部为什么能"转移困难"：乘积法则说导数把 u、v 的求导任务分摊；反向整合时，把"难积的 u 的导数化"换成"好积的 v 的导数化"——$\int xe^xdx$ 中 x 求导一次就消失（选 u=x），把问题从"x·指数"降为"纯指数"。
识别优先级：见复合先想换元（有无 $g'$ 因子可凑）；见两类不同函数相乘先想分部；见根号想三角/有理化换元；见有理分式想部分分式（拆成可查表的小片）。积分无万能算法，只有模式库——这正是它比求导难的本质（求导有 kp-007 的机械法则，积分是逆向搜索）。
图示
换元: ∫ f(g(x))·g'(x)dx = ∫ f(u)du, u=g(x)
定积分必换限: ∫ᵃᵇ → ∫_{g(a)}^{g(b)}
分部: ∫ u dv = uv − ∫ v du (LIATE 定 u)
循环: I = ∫eˣsinx dx → I = eˣ(sinx−cosx)/2 (两次分部+移项)
三角换元: √(a²−x²)→x=asint | √(a²+x²)→x=atant | √(x²−a²)→x=asect直观类比
换元=换一套单位制：米换成英尺，问题外观变了但内容等价——挑让公式最简单的单位。分部=贸易：把"难加工的原料 u"出口，换回"更容易加工的 v·du"，条件是出口时能立刻锁定 uv 的现货价值。
实例或案例
- $\int x\cos x\,dx$：u=x、dv=cos x dx → $x\sin x+\cos x+C$（LIATE 选 u=x）。
- $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$：x=sin t 换元 → arctan 类 → 结果 $\arcsin x+C$（回收 kp-011 的反三角表）。
- 高斯积分前奏：$\int e^{-x^2}dx$ 非初等（kp-013 警告）；但对称区间平方后用极坐标换元可算 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$（多元技巧 kp-026 的预告）。
常见误区
- 误区一："定积分换元忘换限"。变量都换成 u 了，还留 x 的上下限=致命错。
- 误区二："分部选反 u 与 dv"。越选越难（$\int xe^x$ 若选 u=e^x 得到更繁的 $\frac{x^2}{2}e^x$）——LIATE 口诀是止痛药。
- 误区三："凑微分后丢系数"。$\int\cos(3x)dx=\frac13\sin3x+C$——内层导数 3 要以倒数补回。
与其他知识点的关系
自测题
- 求 $\int x\ln x\,dx$。
答：LIATE 取 u=ln x、dv=x dx → $\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$。
- 求 $\int_0^1\frac{2x}{x^2+1}dx$。
答：凑 $2x\,dx=d(x^2+1)$ → $\ln(x^2+1)\big|_0^1=\ln2$（或换元 u=x²+1 换限 1→2）。
- 求 $\int e^x\cos x\,dx$。
答：分部两次出现循环，移项解得 $\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C$。
延伸阅读
- 3Blue1Brown《Essence of Calculus》积分技巧相关集。
- Stewart《Calculus》§5.5、§7.1–7.4。
- 《积分表与积分技巧》类手册（模式库扩充）。