求导法则：四则、链式与隐函数
本文基于模型知识整理（生成时未联网核对），法则证明建议对照 Stewart §3.2–3.5 复核。
一句话定义
四条法则让导数表有限的函数组搭出无穷函数：和差逐项、乘积 $(uv)'=u'v+uv'$、商 $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$、链式 $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$——链式法则是"变化率沿复合链传播"，是全部下游（隐函数、参数方程、反向传播）的核心引擎。
为什么重要
没人用定义求导——法则+基本表才是实战形态。链式法则更是微积分中使用频率第一的定理：神经网络的反向传播本质是链式法则的矩阵流水线（kp-031）、相关变化率与隐函数求导是它的单变量彩排。
前置知识
核心概念
- 和差：$(u\pm v)'=u'\pm v'$（线性性）。
- 乘积：$(uv)'=u'v+uv'$；三元推广逐层展开。
- 商：$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$（可由乘积+链式导出）。
- 链式：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$（外层导×内层导）；"洋葱剥皮"：从最外层向内逐层求导相乘。
- 隐函数求导：方程 $F(x,y)=0$ 两边对 x 求导，把 y 视为 x 的函数、遇 y 必挂 y'——解出 y' 即可（不必显式解出 y）。
- 对数求导法：幂指函数 $u^v$ 取 ln 后求导——处理 $x^x$ 型的专用通道。
原理与机制
乘积法则为什么长这样（不是 u'v'）：几何直觉——把 uv 看成边长为 u、v 的矩形面积；x 增大 δ 后面积增量 = 竖条 u'v·δ + 横条 uv'·δ + 角落小块（高阶小量，被 /δ 取极限后消失）。代数上：$\frac{\Delta(uv)}{h}=\frac{\Delta u}{h}v+\frac{\Delta v}{h}u+\frac{\Delta u\Delta v}{h}$，末项 →0。
链式法则的"齿轮"图像：两齿轮传动，B 随 A 的速率 = A 自转速率 × 传动比；复合函数的变化率=各级变化率的连乘。莱布尼茨记号 $\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ 看似分数约分，其实只是"恰好可以这样记"的巧合——但这个巧合让微分方程换元与反向传播的记号直觉极佳。
隐函数求导为什么合法：只要方程确实隐含可微函数 y(x)（隐函数定理保证，条件是 $F_y\neq0$），对恒等式两边求导即可——y 是"看不见但存在"的函数，y' 是它的导数记号。
图示
(uv)' = u'v + uv' (矩形面积: 两条边带 + 角落消失)
(u/v)' = (u'v − uv')/v²
链式: (f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x) (洋葱从外剥, 逐层相乘)
隐函数: F(x,y)=0 两边对 x 求导, y 的项挂 y', 解出 y'
例: x²+y²=25 → 2x+2yy'=0 → y' = −x/y直观类比
链式法则是"汇率换算"：美元→欧元、欧元→日元，总汇率=两者相乘——变化率沿"函数链"逐级传导。乘积法则像"双人协作"：总产出变化=甲效率×乙基础量+乙效率×甲基础量。
实例或案例
- $y=(x^2+1)^{10}$：链式 $10(x^2+1)^9\cdot 2x$——不展开多项式的聪明算法。
- 相关变化率：气球充气体积对时间的导数=表面积×半径变化率——链式的物理应用。
- 深度学习 BP：每层梯度=上一层梯度×本层导数——链式法则的矩阵版（kp-031）。
常见误区
- 误区一："乘积法则=(u'v')"。这是最高频错误；正确是两项和（反例 $（x·x)'=2x$ 而 x'·x'=1）。
- 误区二："链式法则忘了内层导数"。$\sin(3x)$ 的导数是 $3\cos3x$ 不是 $\cos3x$——"剥洋葱漏了里层"。
- 误区三："隐函数求导时忘了 y'"。对 $y^2$ 求导得 $2y\cdot y'$（y 依赖 x）——链式法则在隐函数中的强制出场。
与其他知识点的关系
自测题
- 求 $y=x\sin x$ 与 $y=\frac{\ln x}{x}$ 的导数。
答：$\sin x+x\cos x$；$\frac{(1/x)x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$。
- 求 $y=e^{\sin 3x}$ 的导数。
答：链式两层：$e^{\sin3x}\cdot\cos3x\cdot3$。
- 曲线 $x^3+y^3=6xy$（笛卡尔叶形线）在 (3,3) 处的切线斜率？
答：两边求导 $3x^2+3y^2y'=6y+6xy'$，代入 (3,3)：$27+27y'=18+18y'$ → $y'=-1$。
延伸阅读
- 3Blue1Brown《Essence of Calculus》第 3、4 集（乘积与链式的视觉证明）。
- Stewart《Calculus》§3.2–3.6。
- 高等数学教材（同济版）第 2 章（隐函数与对数求导的大量练习）。