基本导数表与反函数求导
本文基于模型知识整理（生成时未联网核对），导数表建议对照任何标准教材 §3.9 速查表复核。
一句话定义
求导实战 = 基本导数表（幂/指数/对数/三角/反三角共十余条）× 四条法则（kp-007）的组合；反函数求导法则 $\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'(x)}$ 则用"正函数的导数"免费生成整张反三角表——一张表配一条法则，覆盖初等函数全体。
为什么重要
导数表是微积分的"乘法口诀"：所有后续运算（泰勒/积分/微分方程）都以"能立刻写出导数"为前提。表要背到条件反射，否则链式法则的每一环都会卡壳；理解每条公式的来历（大多源自 kp-005 的两个重要极限）则让"背"变成"推"。
前置知识
kp-005/006（两个重要极限与导数定义）、kp-007（法则）。
核心概念（导数速查表）
| 函数 f(x) | 导数 f'(x) | 备注 |
|---|---|---|
| $C$ | 0 | 常数不变 |
| $x^\alpha$ | $\alpha x^{\alpha-1}$ | 幂函数（含根号/分数指数） |
| $a^x$ | $a^x\ln a$ | 一般指数 |
| $e^x$ | $e^x$ | 唯一"导数=自身"（kp-005） |
| $\ln x$ | $\frac1x$ (x>0) | $\log_ax$ 除以 $\ln a$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | 来自 kp-005 极限一 |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | |
| $\tan x$ | $\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}$ | 商法则 |
| $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | 反函数法则 |
| $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | 反函数法则 |
| 反函数法则 | $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)},\ y=f(x)$ | 斜率互为倒数（图像镜像 y=x） |
原理与机制
几条公式的来历速记：
- $x^\alpha$：定义差商展开（正整数）→ 推广到实数（配对数恒等）。
- $e^x$：kp-005 极限二（$\frac{e^h-1}{h}\to1$）。
- $\sin x$：kp-005 极限一 + 和角公式。
- $\ln x$：反函数法则作用于 $e^x$（见下）。
反函数法则的几何来源：$y=f(x)$ 与 $x=f^{-1}(y)$ 的图像关于直线 y=x 镜像——镜像把切线斜率取倒数：$\left(f^{-1}\right)'(y)=1/f'(x)$。代数版：对恒等式 $f(f^{-1}(y))=y$ 两边链式求导，$f'(\cdot)\cdot(f^{-1})'(y)=1$。
arcsin/arctan 的来源：对 $\sin y=x$（y∈[−π/2,π/2]）两边求导：$\cos y\cdot y'=1$ → $y'=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$——反三角表全程不用死记，现推只要两行。
为什么 $e^x$ 是"天选之底"：$(a^x)'=a^x\ln a$ 中那个 $\ln a$ 是"换底税"；只有 $a=e$ 免税——kp-005 的结论在导数表中的显形。
图示
幂: (x^α)' = αx^{α−1}
指对: (eˣ)'=eˣ ; (aˣ)'=aˣln a ; (ln x)'=1/x
三角: (sin)'=cos ; (cos)'=−sin ; (tan)'=sec²
反三角: arcsin' = 1/√(1−x²) ; arctan' = 1/(1+x²)
反函数: (f⁻¹)'(y) = 1/f'(x) (镜像 → 斜率倒数)直观类比
导数表像"食材基础包"：法则（kp-007）是烹饪手法；基本表是净菜——任何初等函数大菜都是"净菜×手法"的组合。反函数法则是"以菜换菜"：会做正函数，反函数的导数免费拿。
实例或案例
- 求 $\arctan$ 导数：设 $y=\arctan x$ 即 $\tan y=x$，两边求导 $\sec^2y\cdot y'=1$，$\sec^2y=1+\tan^2y=1+x^2$ → $y'=\frac{1}{1+x^2}$。
- 指数增长建模：$\frac{dy}{dt}=ky$ 的解 $Ce^{kt}$ 之所以"天然"，因为 e^x 的导数表特权。
- 概率积分 $\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$——arctan 导数在积分中的回收（kp-013）。
常见误区
- 误区一："$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ 对常数函数失效"。α=0 时得 0，常数函数自动兼容——公式没错，是忘了 α=0 的特例恰好统一。
- 误区二："反函数导数忘换变量"。$(f^{-1})'$ 的自变量是 y；$\frac{1}{f'(x)}$ 中的 x 必须换成用 y 表达（或保持隐式）。
- 误区三："ln 的绝对值遗漏"。$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$——导数表反向用时负数区间的绝对值不能丢。
与其他知识点的关系
自测题
- 求 $y=x^2e^x$ 的导数。
答：乘积法则 $2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2)$。
- 求 $\arcsin$ 的导数并说明定义域限制。
答：$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，x∈(−1,1)（端点切线垂直，导数发散）。
- 用反函数法则由 $\ln x$ 的导数推 $e^x$ 的导数。
答：$y=e^x$ 即 $x=\ln y$，两边对 y 求导：$\frac{dx}{dy}=\frac1y$ ⇒ $\frac{dy}{dx}=y=e^x$。
延伸阅读
- Stewart《Calculus》§3.3、§3.9（导数表与反函数）。
- 3Blue1Brown《Essence of Calculus》第 3 集。
- 高等数学（同济版）§2.2 导数公式表（中文教材标准表）。