多元链式法则：变化率在变量网络中传播
本文基于模型知识整理（生成时未联网核对），公式与树图法建议对照 Stewart §14.4 复核。
一句话定义
多元链式法则是单变量链式（kp-007）的网络化：每条"变量依赖边"贡献一个偏导因子，终点对起点的总导数 = 沿所有路径的乘积之和——$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$；画依赖树、按路径求和，任何复杂度的复合都不迷路。
为什么重要
从一元到多元，"复合"从链条升级成网络（中间变量互相交织）；反向传播（kp-031）就是巨型变量网络的多元链式法则的系统化执行。同时它是多元换元、隐函数求导（含 kp-025 的 Lagrange 乘数推导）、全微分运算的统一引擎。
前置知识
核心概念
- 情形一（多进一出）：$z=f(x,y)$，$x=x(t)$，$y=y(t)$：
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$ "总变化 = x 通道贡献 + y 通道贡献"。
- 情形二（多进多出）：$z=f(x,y)$，$x=x(s,t)$，$y=y(s,t)$：
$$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$$ （t 同理）——每个输出变量独立写一遍。
- 树图法（防漏项神器）：画变量依赖树，根=因变量、叶=自变量；每条从根到叶的路径给出一项乘积，全部路径求和。路径数=项数——数路径即数项。
- 全微分形式：$dz=f_xdx+f_ydy$——把链式法则压缩成"微分的一次式"，任意变量替换自动成立（这就是它在换元中好用的原因）。
- 隐函数求导（多元版）：$F(x,y)=0$ ⇒ $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$——两边全微分后解出（kp-007 隐函数的正式升级，条件 $F_y\ne0$ 即隐函数定理）。
原理与机制
为什么是"路径和"而非"路径积"：总变化可经由 x 路径与 y 路径两条独立管道抵达（一元只有一条管道所以只有乘积）；每条管道内部是因子相乘（链式），管道之间是贡献相加（线性性）——"管道内乘、管道间加"八个字概括全部。
全微分为什么是"自动链式"：$dz=f_xdx+f_ydy$ 中 dx、dy 是自由的微分变量——一旦给 x、y 指定随 t 的变化（dx=x'dt），代入即得全导数。微分的记号让"谁是谁的函数"在书写层面自动处理——莱布尼茨记号的第二次胜利（第一次是单变量链式形似分数）。
树图与反向传播的血缘：树图前向展开=前向传播；从根反向收集"梯度×局部导数"=反向传播。深度学习框架的 autograd 就是把 kp-022~024 的这套规则对任意计算图自动化（kp-029 的主题）。
图示
z = f(x,y), x(t), y(t):
dz/dt = z_x·x'(t) + z_y·y'(t)
树图: z ← x ← t
z ← y ← t 两条路径 → 两项相加
全微分: dz = f_x dx + f_y dy
隐函数: F(x,y)=0 → dy/dx = −F_x/F_y直观类比
水系汇流：支流 x 与支流 y 各自把水送入干流 z。干流总流量变化 =（x 的变化 × x→z 的转化率）+（y 的变化 × y→z 的转化率）——管道内乘转化率，管道间加流量。
实例或案例
- 物理连锁：气压 P 依赖温度 T 与体积 V，T、V 又都随时间变——理想气体定律求 dP/dt（气象/工程常客）。
- 极坐标换元：$f(x,y)$、$x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ 的偏导变换——多元换元的标准操作（kp-026 极坐标二重积分的语言基础）。
- 风寒温度：实际温度、风速都随时间变，体感温度的全导数=温度通道+风速通道之和。
常见误区
- 误区一："∂ 记号当分数约分导致漏项"。$\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}$ 只是一条路径——漏掉 y 路径是头号错误（记号陷阱：∂ 不像 d 那样可约，kp-022 误区的续集）。
- 误区二："中间变量与自变量同名时糊涂"。$z=f(x,y,t)$ 而 $x=x(t),y=y(t)$ 时 $\frac{dz}{dt}$（全导数）≠$\frac{\partial z}{\partial t}$（冻结 x,y 的偏导）——记号必须区分 f 的第三个槽位与时间 t 的直接影响。
- 误区三："树图不画直接心算"。变量超过 4 个后心算漏项率飙升；树图是把"不漏项"外包给纸面的廉价保险。
与其他知识点的关系
自测题
- $z=x^2y$，$x=\cos t$，$y=\sin t$，求 dz/dt。
答：$z_x=2xy=\cos t\sin t$，$z_y=x^2=\cos^2t$；$z_x·(-\sin t)+z_y·\cos t=-\cos t\sin^2t+\cos^3t$。
- $w=xy+z$，$x=\cos t$，$y=\sin t$，$z=t$，求 dw/dt。
答：$w_x=\sin t,w_y=\cos t,w_z=1$ → $-\sin^2t+\cos^2t+1=\cos2t+1$。
- 用全微分推导隐函数公式 $dy/dx=-F_x/F_y$。
答：$F(x,y)=0$ 两边取微分 $F_xdx+F_ydy=0$；dx、dy 沿曲线满足该式，解 $dy/dx=-F_x/F_y$（要求 $F_y\ne0$）。
延伸阅读
- Stewart《Calculus》§14.4（树图法的原文展开）。
- MIT 18.02 链式法则讲义。
- Karpathy 的 autograd 教程视频（链式法则→反向传播的代码化）。