单调性、极值与凸性：导数是函数的 X 光
本文基于模型知识整理（生成时未联网核对），判别法条件建议对照 Stewart §4.3 复核。
一句话定义
导数的符号是函数的 X 光片：$f'>0$ 单调升、$f'<0$ 单调降（MVT 保证，kp-009）；符号由正转负的点=极大值（一阶导判据），二阶导 $f''>0$ 下凸（碗形）、$f''<0$ 上凸、$f''$ 变号=拐点——找出函数"形状"的全部流程可机械化。
为什么重要
优化=找极值：从工厂利润最大化到神经网络的损失最小化（kp-028），一阶/二阶判据是所有优化方法的原型。凸性则决定"局部最优=全局最优"的黄金性质——机器学习偏爱凸损失函数的原因全部写在本条。
前置知识
kp-006/009（导数与中值定理）。
核心概念
- 单调判据：区间上 $f'>0$ ⇒ 严格递增；$f'<0$ ⇒ 严格递减（MVT 证明）。
- 临界点：$f'=0$（驻点）或 $f'$ 不存在的点——极值只可能藏在临界点里（Fermat 内点定理）。
- 一阶导判据：f' 由正转负=极大；由负转正=极小；不变号=非极值（如 $x^3$ 的 0）。
- 二阶导判据：$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)>0$ ⇒ 极小；$f''<0$ ⇒ 极大；$f''=0$ 不能判定（回一阶法）。
- 凸性：$f''>0$ ⇒ 下凸（convex，碗形，切线在下方）；$f''<0$ ⇒ 上凸（concave）；拐点=凸性切换处（$f''$ 变号）。
- 全局 vs 局部：闭区间上的全局最值 = 内部极值候选 ∪ 端点值（最值定理 kp-003 保证存在）。
原理与机制
为什么"驻点+不可微点"穷尽了极值：极值点若可微，左右函数值都更小/更大 ⇒ 差商左右异号 ⇒ 导数为 0（Fermat）；不可微的尖角（|x| 的 0 点是极小）也必须列入候选——"扫临界点"清单由此完备。
凸性的价值（凸函数三利好）：① 局部极小=全局最小（碗只有一个底）；② 一阶条件 $f'(x)=0$ 充分刻画最优；③ 现代优化（牛顿法/共轭梯度）有收敛保证。机器学习的损失函数设计追逐凸性（线性回归+平方损失=kp-030 的碗）。判据：$f''\ge0$ 恒成立（或二阶泰勒的曲率项恒正，kp-016/027 的 Hessian 版本）。
拐点的识别纪律：$f''=0$ 是必要条件候选而非充分（$x^4$ 的 0 点 $f''=0$ 但凸性不变）——必须验证变号。
图示
单调: f' > 0 ↗ ; f' < 0 ↘ (MVT 保证)
临界点: f'=0 (驻点) 或 f' 不存在 (极值候选)
一阶判: f' 正→负 = 极大 ; 负→正 = 极小
二阶判: f'(x₀)=0 且 f″>0 极小 ; f″<0 极大 ; f″=0 存疑
凸性: f″>0 下凸∪ ; f″<0 上凸∩ ; 变号 = 拐点
最值: 临界点值 ∪ 端点值 中取最大/最小直观类比
开车翻山：上坡（f'>0）到顶点（f'=0 且即将下坡=极大）再下坡；二阶导是"坡度变化率"——越翻越陡（下凸）还是越翻越缓（上凸）。拐点=从"越爬越累"切换到"越爬越轻松"的那个点——海拔没变，累法变了。
实例或案例
- 易拉罐设计：体积固定求最小表面积——半径=高（$h=2r$）的经典极值应用。
- 统计与 ML：对数似然的极大化 = $f'=0$ 求驻点 + 二阶确认；损失函数凸性检查。
- 经济学：边际=平均的极值关系（平均成本最低时边际成本=平均成本，由 $C/x$ 极值的导数条件直接导出）。
常见误区
- 误区一："驻点=极值点"。$x^3$ 的 0 驻点既非极大也非极小——必须过一阶/二阶判据。
- 误区二："$f''=0$ 就是拐点"。$x^4$ 在 0 处 $f''=0$ 但仍是下凸——变号才是拐点的定义。
- 误区三："极值点忘了端点"。闭区间最值要把端点值排进候选——"最大值在边界"是优化的常态。
与其他知识点的关系
自测题
- 求 $f(x)=x^3-3x$ 的极值。
答：$f'=3x^2-3=0$ → x=±1；f''=6x：x=1 极小（f=−2）、x=−1 极大（f=2）。
- 求 $f(x)=x^4-2x^2$ 在 [−2, 3] 的全局最值。
答：f'=4x(x²−1)=0 → x=0,±1；候选值 f(±2)=8、f(0)=0、f(±1)=−1、f(3)=63 → 最大 63（端点），最小 −1。
- $y=x^3$ 在 0 处是拐点吗？驻点吗？
答：是拐点（f''=6x 在 0 变号）且是驻点（f'=3x²=0）；但非极值——驻点+拐点可以重合。
延伸阅读
- 3Blue1Brown《Essence of Calculus》极值相关集。
- Stewart《Calculus》§4.1、§4.3。
- Boyd & Vandenberghe《Convex Optimization》§3（凸性的优化价值）。